جواب کاردرکلاس صفحه 29 ریاضی دهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 29 ریاضی دهم انسانی سلام به دانش‌آموزان کنجکاو! این فعالیت بسیار مهم است و ما را با یک راز بزرگ در حل معادلات درجه دوم آشنا می‌کند: **رابطه بین ریشه‌ها و ضرایب معادله (ویت)**. ما از فرمول کلی ($\mathbf{x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}}$) برای یافتن ریشه‌ها استفاده می‌کنیم. --- ### الف) حل معادله $\mathbf{3x^2 + 5x - 2 = 0}$ **گام ۱: تعیین ضرایب و محاسبه $\mathbf{\Delta}$** * $\mathbf{a = 3}$، $\mathbf{b = 5}$، $\mathbf{c = -2}$ * **ممیز ($\mathbf{\Delta}$):** $\mathbf{\Delta = b^2 - 4ac = (5)^2 - 4(3)(-2) = 25 + 24 = 49}$ **گام ۲: یافتن ریشه‌ها ($\mathbf{x_1}$ و $\mathbf{x_2}$)** $$\mathbf{x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2(3)} = \frac{-5 \pm 7}{6}}$$ 1. **ریشه‌ی اول ($athbf{x_1}$):** $\mathbf{x_1 = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}}$ 2. **ریشه‌ی دوم ($athbf{x_2}$):** $\mathbf{x_2 = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2}$ **گام ۳: محاسبه مجموع و حاصل ضرب ریشه‌ها** * **مجموع ریشه‌ها ($athbf{x_1 + x_2}$):** $$\mathbf{x_1 + x_2 = \frac{1}{3} + (-2) = \frac{1}{3} - \frac{6}{3} = \mathbf{-\frac{5}{3}}}$$ * **حاصل ضرب ریشه‌ها ($athbf{x_1 x_2}$):** $$\mathbf{x_1 x_2 = (\frac{1}{3}) \times (-2) = \mathbf{-\frac{2}{3}}}$$ --- ### ب) حل معادله $\mathbf{4x^2 + 3x - 7 = 0}$ **گام ۱: تعیین ضرایب و محاسبه $\mathbf{\Delta}$** * $\mathbf{a = 4}$، $\mathbf{b = 3}$، $\mathbf{c = -7}$ * **ممیز ($\mathbf{\Delta}$):** $\mathbf{\Delta = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4(4)(-7) = 9 + 112 = 121}$ **گام ۲: یافتن ریشه‌ها ($athbf{x_1}$ و $\mathbf{x_2}$)** $$\mathbf{x = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{2(4)} = \frac{-3 \pm 11}{8}}$$ 1. **ریشه‌ی اول ($athbf{x_1}$):** $\mathbf{x_1 = \frac{-3 + 11}{8} = \frac{8}{8} = 1}$ 2. **ریشه‌ی دوم ($athbf{x_2}$):** $\mathbf{x_2 = \frac{-3 - 11}{8} = \frac{-14}{8} = -\frac{7}{4}}$ **گام ۳: محاسبه مجموع و حاصل ضرب ریشه‌ها** * **مجموع ریشه‌ها ($athbf{x_1 + x_2}$):** $$\mathbf{x_1 + x_2 = 1 + (-\frac{7}{4}) = \frac{4}{4} - \frac{7}{4} = \mathbf{-\frac{3}{4}}}$$ * **حاصل ضرب ریشه‌ها ($athbf{x_1 x_2}$):** $$\mathbf{x_1 x_2 = (1) \times (-\frac{7}{4}) = \mathbf{-\frac{7}{4}}}$$ --- ## تحلیل ارتباط میان ریشه‌ها و ضرایب **سؤال:** آیا ارتباطی میان مجموع ریشه‌ها و ضرایب $\mathbf{a, b}$ و $\mathbf{c}$ در معادله درجه دو گفته شده وجود دارد؟ **پاسخ:** بله، یک **ارتباط کاملاً مستقیم و ثابت** وجود دارد که به آن **روابط ویت** (Vieta's Formulas) گفته می‌شود. بیایید نتایج را مقایسه کنیم: ### الف) $\mathbf{3x^2 + 5x - 2 = 0}$ | نتیجه محاسبه شده | ارتباط با ضرایب | | :---: | :---: | | مجموع: $\mathbf{-\frac{5}{3}}$ | $\mathbf{-\frac{b}{a} = -\frac{5}{3}}$ (برابرند!) | | حاصل ضرب: $\mathbf{-\frac{2}{3}}$ | $\mathbf{\frac{c}{a} = \frac{-2}{3}}$ (برابرند!) | ### ب) $\mathbf{4x^2 + 3x - 7 = 0}$ | نتیجه محاسبه شده | ارتباط با ضرایب | | :---: | :---: | | مجموع: $\mathbf{-\frac{3}{4}}$ | $\mathbf{-\frac{b}{a} = -\frac{3}{4}}$ (برابرند!) | | حاصل ضرب: $\mathbf{-\frac{7}{4}}$ | $\mathbf{\frac{c}{a} = \frac{-7}{4}}$ (برابرند!) | **نتیجه‌گیری کلی (روابط ویت):** برای هر معادله‌ی درجه دوم $\mathbf{ax^2 + bx + c = 0}$ که ریشه‌های آن $\mathbf{x_1}$ و $\mathbf{x_2}$ باشند، روابط زیر همواره برقرارند: * **مجموع ریشه‌ها:** $\mathbf{S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}}$ * **حاصل ضرب ریشه‌ها:** $\mathbf{P = x_1 x_2 = \frac{c}{a}}$ این روابط به شما اجازه می‌دهند تا بدون حل کامل معادله، مجموع و حاصل ضرب ریشه‌های آن را پیدا کنید؛ فقط کافی است ضرایب $\mathbf{a}$، $\mathbf{b}$ و $\mathbf{c}$ را بدانید. آیا می‌توانید تصور کنید این چقدر در زمان شما صرفه‌جویی می‌کند؟